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Il rendimento atteso (in inglese expected return) è un parametro fondamentale per stimare i rendimenti futuri di una determinata asset class necessari per i modelli come Markowitz, il calcolo dello Sharpe Ratio, il Capital Market Line ecc...

La statistica finanziaria utilizza in maniera predominante indicatori statistici basati sulla media e sulla varianza e prende i rendimenti storici e suppone che i rendimenti futuri saranno uguali a quelli passati.

DIFETTI

La media è comunemente calcolata come rendimento medio annuo, che però funziona abbastanza bene quando si considerano rendimenti annuali mentre funziona male se si utilizzano i rendimenti giornalieri o mensili (spesso in realtà usati sulle serie storiche brevi, ovvero a tre-cinque anni).

Quando sono entrato in finanza a fine 1998, mi hanno insegnato che il rendimento medio annuo del mercato azionario era del 14%, poi nel 2009, a seguito delle crisi del 2000-2003 e del 2007-2009 la media era calata al 6% di media annua.

STIMA DEL RENDIMENTO ATTESO

Questa modifica di rendimento atteso a mio avviso non è corretta, la media annua deve essere praticamente costante, a volte si discosta per colpa della varianza (della volatilità dei rendimenti per capirci), altrimenti se la media annua deve variare in continuazione decade il senso di stimare la media insieme alla varianza.

Ma il rendimento di per se è molto variabile, soprattutto per i mercati azionari e per non parlare delle emergenti crypto, per cui non è sempre facile stimare correttamente il suo rendimento atteso futuro.

Allora mi sono divertito a prendere la serie storica dello S&P500 ed effettivamente a fine 1998 il mercato negli ultimi 20 anni aveva ottenuto una media annua del 13,5%, mentre 11 anni dopo ovvero nel dicembre 2009 il rendimento medio annuo degli ultimi 20 anni era sceso in effetti al 5,9%.

La prima considerazione è che per calcolare una media annua consistente 20 anni siano una finestra temporale molto breve e sia necessario allungarla almeno a 40 anni.

ORIZZONTE TEMPORALE DI OSSERVAZIONE

Se si allunga a 40 anni la finestra di calcolo del rendimento medio annuo, allora i valori si avvicinano di molto, perché nella finestra 12/1958 al 12/1998 il rendimento medio annuo è stato del 7,95% annuo mentre dal 12/1969 al 12/2009 il rendimento medio annuo è stato del 6,63% (dovuto anche al fatto che 30 anni su 40 sono stati in comune, mentre nell’esempio di prima solo 10 anni su 20 erano in comune).

MEDIA SU BASE SETTIMANALE 

Tralasciando il fatto che la media calcolata da chi usa la media e varianza era pari al 0,26%, (come detto in apertura non funziona per periodi inferiori all’anno, ma molti non lo considerano), da questa breve analisi si evince che il periodo storico 1978-1998 sia stato “fuori dal comune” e quindi la media annua dei mercati azionari sia molto minore al 14% medio annuo.

Si evince però anche che calcolare la semplice media annua composta non sia stabile se non per periodi molto lungi di tempo, perché la volatilità dei mercati rendono determinate il punto di partenza e il punto di arrivo per il suo calcolo corretto.

INDICATORE DETERMINISTICO

Nel 2014 con il prof. Ruggero Bertelli abbiamo cercato di risolvere il problema realizzando un indicatore statistico che non fosse legato al concetto ne di media ne di varianza tanto cari agli statistici e ai matematici perché semplificano (forse anche troppo) la struttura complessa dei mercati finanziari.

L’indicatore statistico di cui parlo, di matrice deterministica e non casuale, si chiama (forse con poca fantasia) DIAMAN Ratio. 

Il DIAMAN ratio è stato realizzato con lo scopo di stimare meglio i rendimenti attesi sia di lungo termine che di breve termine (in questo caso supponendo la persistenza del trend in corso).

FORMULA

La sua formula è molto semplice ed elegante matematicamente, perché è semplicemente DR=Beta*Rquadro, con il Beta calcolato come la regressione lineare della serie storica dei prezzi rispetto al tempo (che è molto diverso dal Beta dei rendimenti rispetto ad altri rendimenti tipicamente usato per stimare la correlazione e il legame con un’altra serie storica).

Perché è moltiplicato per il Rquadro? Perché questo parametro è il cosiddetto Coeficiente di Determinazione, se questo è uguale ad 1 significa che il Beta e la serie storica coincidono, altrimenti se la serie storica si discosta di molto rispetto alla retta di regressione. Il Rquadro tende a 0 e quindi abbassa la capacità di stima del DR.

Facciamo un esempio per far comprendere meglio la logica

Ipotizziamo di dover stimare il rendimento di un fondo monetario, se il primo anno ha una resa del 1,2%, a parità di tassi, l’anno dopo con il DIAMAN Ratio è realmente facile stimarne il rendimento, infatti il calcolando il DR=1,2% (poiché il Rquadro è uguale ad 1 perché non ci sono scostamenti tra la retta di regressione e il fondo monetario), di conseguenza l’anno successivo sarà esattamente a 10,24 come valore e il DR ha stimato perfettamente il rendimento atteso del fondo monetario.

Diverso il risultato se invece la serie storica ha un andamento altalenante come per esempio un fondo Equity, essendo il Rquadro minore di 1 la stima del DR sarà inferiore perché il beta (pari alla retta di regressione viene corretto dal Rquadro); questo rende mediamente più veritiera la stima futura perché più si alza la volatilità più si alza l’incertezza di ottenere il rendimento atteso.

Per chi vuole capire meglio il funzionamento del Diaman Ratio può scaricare il paper qui: www.phitoken.io/copia-di-phi-token 

Se prendiamo l’esempio dello S&P 500 di prima e calcoliamo il Diaman Ratio dei quarant’anni nei due periodi presi in esame, il DR del periodo 1958-1999 è pari a 5,7% contro un reale del 6,6% del periodo successivo, mentre nel periodo 1969-2009 risulta pari a 8,2%.

INCREDIBILE

Sembrerebbe un controsenso, certo, ma in realtà noi consociamo la storia dal 2009 al 2018, e nel periodo 1978-2018 la media di rendimento annuo dello S&P 500 è stata del 8,8%, quindi di poco superiore a quello stimato nel 2009 dal Diaman Ratio.

Coincidenze? Può darsi, ma anche no.

Noi crediamo moltissimo negli indicatori deterministici, perché non si basano sull’assioma che i mercati sono casuali, ma sul fatto che i mercati scrivono la storia e al netto del rumore di breve periodo, c’è una logica dietro ben determinata che può essere descritta meglio con regressioni piuttosto che con gaussiane.

IN CASO DI DR NEGATIVO

Ma allora la domanda nasce spontanea, se il Diaman Ratio è in grado di stimare i rendimenti attesi futuri, quando lo stesso ha valore pari a zero o addirittura negativo, cosa conviene fare?

Uscire ovviamente, e possiamo dimostrare che questa logica permette di fare un timing molto efficiente, meglio delle medie mobili, soprattutto nel mondo dei Crypto Assets, ma non voglio anticiparvi troppo uno studio che pubblicheremo a breve…

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DB